Exercices conçus ou rassemblés par Dan Meller (X2019) pour des khôlles de mathématiques en MPSI au lycée privé Sainte-Geneviève.
Le recueil
Les exercices peuvent être téléchargés ici en pdf
Le code
Certains exercices sont accompagnés de code python permettant de réaliser quelques simulations :
- (13.1) Optique matricielle code
- (14.1) Groupe de Heisenberg discret code
Table des matières
Introduction (Page 4)
Nombres complexes (Page 4)
- 2.1 ∆ Somme de racines de l’unité
- 2.2 Cône complexe
Ensembles et applications (Page 5)
- 3.1 Pseudo-inverse
- 3.2 Entropie discrète et lemme de Gibbs
- 3.3 Parité et involution
Groupes, anneaux et corps (Page 6)
- 4.1 Technologie RAID 5 et RAID 6
- 4.2 Rubik’s Cube
- 4.3 ∆ Ordre dans un groupe commutatif fini
Arithmétique (Page 8)
- 5.1 ∆ Théorème chinois
- 5.2 ∆ Indicatrice d’Euler
- 5.3 Tests de primalité : Exact, Fermat, Miller-Rabin
- 5.4 Un lemme usuel
- 5.5 ∆ Théorème de Liouville (1844)
Suites (Page 10)
- 6.1 Méthode de Héron
- 6.2 ∆ Approximation rationnelle
- 6.3 ∆ Suites de Cauchy
Espaces vectoriels (Page 11)
- 7.1 ∆ Une famille libre
- 7.2 ∆ Famille libre adaptée à une application nilpotente
- 7.3 Dimension de R vu comme un Q-ev
- 7.4 Idéaux bilatères de L(E)
- 7.5 ∆ Premier lemme de factorisation
- 7.6 ∆ Union finie de sev stricts
- 7.7 ∆ Commutant d’une application nilpotente d’ordre n
Analyse et dérivabilité (Page 13)
- 8.1 ∆ Théorème de Darboux et trois applications
- 8.2 ∆ Majoration des fonctions uniformément continue
- 8.3 Pseudo-dérivation
- 8.4 Commutant des observables impulsion et position
- 8.5 Des suites jumelles
Systèmes linéaires et matrices (Page 15)
- 9.1 Détermination théorique de la pente des dunes
- 9.2 Majoration de la dimension du commutant
- 9.3 Promenade autour de la légère nuance entre algèbre et sous-algèbre
- 9.4 ∆ Caractérisation de l’antisymétrie
- 9.5 Un regard matriciel sur le produit vectoriel
Polynômes (Page 19)
- 10.1 Contenu d’un polynôme et Lemme de Gauss sur les coefficients polynomiaux (Disquisitiones arithmeticae 1801)
- 10.2 ∆ Interpolation optimale et Polynômes de Tchebychev
- 10.3 ∆ Stabilisation du cercle unité
- 10.4 ∆ Sommes de Newton nulles
- 10.5 Polynôme irréductible sur Z[X]
- 10.6 Inverse d’une matrice de Vandermonde et théorème d’inversion de Fourier discret
- 10.7 FFT - Fast Fourier Transform
- 10.8 Matrices circulantes et Transformée de Fourier Discrète
- 10.9 Fractions rationnelles et simplifications de somme
Développements limités (Page 25)
- 11.1 ∆ Racine carrée matricielle via un DL
- 11.2 Équations différentielles discrètes
- 11.3 ∆ Loi de Poisson
- 11.4 Complexité minimale du tri
Intégration (Page 26)
- 12.1 ∆ Norme p et norme infinie
- 12.2 Principe de moindre action et approximation polynomiale
Déterminant et Espaces Euclidiens (Page 27)
- 13.1 Optique Matricielle
- 13.2 Factorisation de SL2(R)
- 13.3 Quaternions
- 13.4 ∆ Degré et rang
- 13.5 Plongement du groupe symétrique dans Mn(R)
Dénombrements (Page 31)
- 14.1 Groupe de Heisenberg discret
- 14.2 Formule de Burnside et trous d’eau dans un réacteur nucléaire
- 14.3 Lemme de Poincaré
- 14.4 Solides de Platon
Probabilités (Page 36)
- 15.1 Polynômes de Bernstein et Courbes de Bézier
- 15.2 Borne entropique sur la compression de données
- 15.3 Estimateur non biaisé de la variance
- 15.4 Graphe aléatoire et Diffusion d’un secret
- 15.5 Aire aléatoire entière
- 15.6 Application à la cuisine
- 15.7 Mécanique quantique, bosons, fermions, principe de Pauli
Séries (Page 40)
- 16.1 Convergence de l’exponentielle matricielle
- 16.2 Exponentielle matricielle et groupe de Lie
- 16.3 Exponentielle matricielle et formule de Taylor
Équations différentielles (Page 42)
- 17.1 Caustique aquatique
Supplément : Théorie spectrale des graphes
Vous pourrez trouver ici en pdf le support d’une conférence d’introduction à la théorie spectrale des graphes. Après avoir introduit le laplacien discret par analogie avec son homologue continu, diverses applications de celui-ci sont présentées, notamment : la transformée de Fourier discrète, le clustering spectral avec diffusion et les GCN (Graph Convolutional Networks).